functions.phpに以下のコードを追加

//投稿にサブメニューを追加
function add_post_submenu() {
    add_submenu_page( 'edit.php', '未分類', '■未分類', 'activate_plugins', 'edit.php?post_status=publish&cat=1' );
    add_submenu_page( 'edit.php', '公開済み', '・公開済み', 'activate_plugins', 'edit.php?post_status=publish&post_type=post' );
    add_submenu_page( 'edit.php', '下書き', '・下書き', 'activate_plugins', 'edit.php?post_status=draft&post_type=post' );
    add_submenu_page( 'edit.php', '予約投稿', '・予約投稿', 'activate_plugins', 'edit.php?post_status=future&post_type=post' );
}
add_action('admin_menu', 'add_post_submenu');

add_submenu_pageの中身はこうです。

トップレベルメニュー → edit.php
*投稿にひもづけるため。

ページタイトル → 未分類,公開済み等
*ここでは一覧ペーにとばすので特に必要なし。適当に入れておいてください。

メニュータイトル → ■未分類,・公開済み等
*実際にメニューとして表示されるテキストです。

権限 → activate_plugins等
*このメニューが表示されるユーザーレベルです。
上記の例では管理者のみ有効になっています。
ユーザーレベルについてはこちら

ファイル → ?post_status=publish&cat=1等
*この場合はURLになります。
このURLは投稿一覧画面のURL「?」移行のコピペです。

パラメーターはいくつか有りますので色々試してみてください。

• 公開済み：post_status=publish
• 下書き：post_status=draft
• 予約投稿：post_status=future
• ゴミ箱：post_status=trash
• カテゴリー：cat=**（カテゴリーID）
• タグ：tag=**（タグスラッグ）

等々。必要に合わせて&で組み合わせてください。

メニューにカテゴリーを追加する

上記コードのカテゴリー部分の説明です。

まず「カテゴリー」「■カテゴリー」部分を任意のカテゴリ名に書き換えます。
例）’blog’,’Blog’

最後のURLの中の「cat=1」
この数字の部分を任意のカテゴリIDに変更してください。

カテゴリーIDの確認は以下の通りです。

まずカテゴリーページに行きます。

確認したいカテゴリーの「編集」クリックします。

編集画面のアドレスバーにある「tag_ID=**」がカテゴリーIDになります。

私の場合、カテゴリー名がBlog、カテゴリーIDが18になりますので

add_submenu_page( 'edit.php', 'Blog', '■Blog', 'activate_plugins', 'edit.php?post_status=publish&cat=18' );

となります。
あとは追加したい数だけコピペしてください。

functions.phpに以下のコードを追加

//画像欄をカラムに追加
function add_thumbnail_columns( $columns ) {
    $columns = array_reverse($columns,true);
    //「Image」は任意のテキストに変更してください
    $columns['thumbnail'] = 'Image';
    $columns = array_reverse($columns,true);
    return $columns;
}
add_filter( 'manage_posts_columns', 'add_thumbnail_columns' );

//画像を出力
function add_thumbnail_postlist( $column_name, $post_id ) {
  if ( 'thumbnail' == $column_name ) {
  	//サイズは任意のサイズに変更してください
    $thumbnail = get_the_post_thumbnail( $post_id, array( 80, 80 ) );
    //アイキャッチが設定されていない場合、空のdivを出力します
    echo ( $thumbnail ) ? $thumbnail : '<div class="noimage">&nbsp;</div>';
  }
}
add_action( 'manage_posts_custom_column', 'add_thumbnail_postlist' , 10 , 2 );

その次に表示用のスタイルを追加します。

//管理画面にスタイルを追加
function custom_admin_style() {
echo <<<EOF
<style>
//設定したサムネイルの幅に合わせて調整してください
.column-thumbnail {
    width:80px;
}
//空divのスタイル
.column-thumbnail .noimage {
    width:80px;
    height:80px;
    background:#f2f2f2;
}
</style>
EOF;
}
add_action( 'admin_print_styles', 'custom_admin_style' );

このようになります。

functions.phpに以下のコードを追加

//カテゴリーツリーを維持させる
function category_tree_retention( $args, $post_id ){
   if( !isset( $args['checked_ontop'] ) || $args['checked_ontop'] !== false){
       $args['checked_ontop'] = false;
   }
   return $args;
}
add_filter( 'wp_terms_checklist_args', 'category_tree_retention', 10 , 2 );

あとはおまけですが、このボックスのスクロールバーが邪魔だったので外しました。
ひと目で分かるようにしたかったので。
それとついでにチェックボックスの色も濃くしました。

以下のスタイルを追加

function custom_admin_style() {
echo <<<EOF
<style>
#category-all {
　　//高さを決める場合は none →　高さpx
    max-height:none;
}
#category-all input:checked {
    border:1px solid #000;
    background:#ccc;
}
</style>
EOF;
}
add_action( 'admin_print_styles', 'custom_admin_style' );

※上記アイキャッチのスタイル出力と同じ関数ですので、両方入れる場合はスタイルをまとめてください。